Back

ⓘ Köklerin yer eğrisi, kontrol teorisinde, bir kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarının sistemin K {\displaystyle K} kazancına göre değisimini gösteren ç ..




Köklerin yer eğrisi
                                     

ⓘ Köklerin yer eğrisi

Köklerin yer eğrisi, kontrol teorisinde, bir kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarının sistemin K {\displaystyle K} kazancına göre değisimini gösteren çizimlerdir.

                                     

1. Giris

Kapalı çevirim döngüye sahip olan her sistem yandaki blok diyagramdaki gibi ifade edilebilir. Burada G s {\displaystyle Gs} açık sistemin transfer fonkisyonunu, H s {\displaystyle Hs} ise geribesleme sisteminin transfer fonksiyonunu ifade etmektedir. Bu durumda bütün sistemin transfer fonksiyonu

K G s H s 1 + K G s H s {\displaystyle {\frac {KGsHs}{1+KGsHs}}} olmaktadır. Bu yöntemde K artarken bütün sistemin kutuplarının yani 1 + K G s H s = 0 {\displaystyle 1+KGsHs=0} ifadesinin köklerinin nasıl değistiği sorusuna cevap aranmaktadır. Görüldüğü üzere K değistikçe 1 + K G s H s {\displaystyle 1+KGsHs} ifadesi farklı s değerleri için sıfır olur. Iste çizilen bu eğriler K arttıkça değisen köklerin eğrileridir. Bu eğriler sistemin kazancı K {\displaystyle K} sıfırdan sonsuza artarken çizilir. Kural olarak sistemin kazancının negatif olduğu düsününülmez. Kök eğrileri her zaman açık sistemin bir kutubundan baslar ve kazanç arttıkça açık sistemin sıfırlarına ya da asimtotlara doğru hareket eder. Kök eğrileri her zaman reel eksene göre simetriktir.

Sistemin kutupları kararlılık açısından önemlidir. s-düzleminde bir transfer fonksiyonunun pozitif reel kısımlı kutubu olması sistemin kararlı olmadığı anlamına gelir. Baska bir ifadeyle kararlı bir sistemin s-düzleminin sağ yarısında kutubu bulunmaz. Köklerin eğrileri bize kutupların hareketini gösterdiğinden sistemin artan kazançla ne zaman kararlılığını yitirdiğini bu eğrilere bakarak kolaylıkla anlayabiliriz.

Köklerin yer eğrilerine bakarak sistem tasarımı yapılabilir. Sistemin kutupları kazanca göre hareket ettiği için kazanç değistirilerek sistemin kutupları hareket ettirilebilir. Bu sistemin karalılık, sönümleme oranı, doğal frekans gibi birçok özelliğini değistirir. Birçok kontrolcü tasarım teknikleri kök eğrileri çizimlerine bakılarak yapılabilir.

                                     

2. Köklerin hareketi hakkında bir örnek

Açık döngü transfer fonksiyonu K s + 1 {\displaystyle Ks+1} olan bir sistemde birim geribesleme uygulandığını düsünelim. Bu durumda bütün sistemin transfer fonksiyonu K s + 1 / 1 + K s + 1 {\displaystyle Ks+1/1+Ks+1} olur. bu sistemin tek kutubu vardır o da paydayı sıfır yapan s değeri olan s = -K-1/K değeridir. Görüleceği üzere bu s değeri K değistikçe değismektedir. K sıfırdayken eksi sonsuza giden kutup, K sonsuza gittiğinde -1 e yaklasmaktadır. Dolayısıyla bu sistemin kök eğrisi sonsuzdan -1e uzanan doğru parçasıdır.

                                     

3. Prosedür

Kök eğrileri çizilirken asağıdaki yöntem izlenir.

  • Açık sistemin transfer fonksiyonuna bakılarak s-düzlemine kutuplar ve sıfırlar yerlestirilir. Reel eksen üzerinde kök eğrilerinin geçebileceği yerler isaretlenir.

Reel eksen üzerinde kök eğrilerinin geçebileceği yerler açı sartını sağlar. Buna göre reel eksen üzerinde kendisinin sağında tek sayıda sıfır ya da kutup bulunduran doğru parçaları kök eğrilerinin geçmesi muhtemel bölgelerdir.

  • Asimtotların sayısı ve aralarındaki açılar belirlenir.

Açık sistemin kutup sayısı P {\displaystyle P} sıfır sayısı Z {\displaystyle Z} olmak üzere asimtot sayısı = P − Z {\displaystyle P-Z} ifadesiyle bulunur. Asimtotlar arasındaki açı ise

ϕ l = 180 ∘ + l − 1 360 ∘ P − Z, l = 1, 2., P − Z {\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+l-1360^{\circ }}{P-Z}},l=1.2.,P-Z} bağlantısıyla bulunur.

Örneğin 5 kutubu 2 sıfırı olan bir transfer fonksiyonunun pozitif reel eksenle 60.180.300 derece açı yapan üç asimtotu vardır.

  • Asimtotların kesistiği nokta belirlenir.

Asimtotların kesistiği noktaya sentrioid denir. Reel eksen üzerinde olan bu nokta

α = ∑ P − ∑ Z P − Z {\displaystyle \alpha ={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}} formülüyle bulunur.

Buradaki ∑ P {\displaystyle \sum _{P}} ifadesi bütün-sistemin kutuplarının toplamını, ∑ Z {\displaystyle \sum _{Z}} ifadesi ise bütün-sistemin sıfırlarının toplamını ifade eder. Paydadaki P {\displaystyle P} ve Z {\displaystyle Z} ise sırasıyla kutup ve sıfırların sayısını’ belirtir.

  • Kök eğrilerinin ayrılma ve birlesme noktaları belirlenir.

Kök eğrileri reel eksen üzerindeyken kazancın değismesiyle reel ekseni terk eder. Bu durumda sistemin kutupları artık sadece reel değil karmasık sayıdır. Bu noktalar artan kazançla köklerin hareketine göre ayrılma ya da birlesme noktaları olarak adlandırılır.Bu noktalar:

d G s H s d s = 0 {\displaystyle {\frac {dGsHs}{ds}}=0} formülüyle bulunur. Bu denklemin bütün çözümleri ayrılma/birlesme noktası değildir. Ilk olarak ayrılma birlesme noktaları 1. adımda belirlenebilen kök eğrisi geçirebilecek aralıklar arasında olmalıdır. Bu aralıkta olmayan bir nokta ayrılma/birlesme noktası olamaz. Ikinci olarak gerçek ayrılma noktaları transfer fonksiyonuna yazılıp çözüldüğünde pozitif K değeri verirken diğer noktalar negatif K değeri verir.
  • Eğer karmasık kutup/sıfır varsa: Ayrılma ve birlesme açıları belirlenir.

Kök eğrilerinin karmasık kutup ve sıfırlara yakınlasırken nasıl bir yörünge çizerek ulastığı önemlidir. Bunu anlamak için ayrılma ve birlesme ayçıları incelenir. Eğer kutuplar/sıfırlar reel eksenin üzerinde ise bu açıların önemi yoktur. Çünkü bu durumda kök eğrileri reel ekseni takip ederek kutup/sıfırlara ulasır. Dolayısıyla ayrılma/birlesme açıları sıfır ya da 180 derecedir.

  • Karmasık eksenin kesildiği noktalar belirlenir.

Kök eğrileri karmasık ekseni kesebilir. Bu noktada sistemin kutupları tamamen imajiner hale gelir. Karmasık düzlemin kesildiği noktada kök eğrisi yarı düzlemler arası geçis yapar. Bu yüzden karmasık eksenin kesildiği noktalar sistemin kararlılığı için esik olusturur. Karmasık eksenin kesildiği noktalar routh hurwitz kriteriyle ya da transfer fonksiyonunda s yerine jw koyularak bulunabilir.

  • Yukarıdaki adımlarda bulunan noktalar göz önünde bulundurularak kök eğrileri çizilir.


                                     

4. Bir Örnek Esliğinde Kök Eğrisi Çizimi

Transfer fonksiyonu G s = K s + 1 s 2 + 4 s + 13 {\displaystyle Gs={\frac {K}{ss+1s^{2}+4s+13}}} olan bir sistemin kök eğrilerini çizelim.

  • Sistemin transfer fonksiyonuna bakılarak s-düzlemine kutuplar ve sıfırlar yerlestirilir.

Bu sistemin sıfırı yoktur. 0, -1, -2+3j ve -2-3j olmak üzere dört kutubu vardır. Bunları noktaları s-düzleminde isaretleriz. -1