Back

ⓘ Çevre açı. Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant çizgisi kesistiğinde bir çember üzerinde olusan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta ile çember üzer ..



Çevre açı
                                     

ⓘ Çevre açı

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant çizgisi kesistiğinde bir çember üzerinde olusan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın olusturduğu açı olarak da tanımlanabilir.

Esdeğer olarak, bir çevre açı, bir bitis noktasını paylasan çemberin iki kirisiyle tanımlanır.

Çevre açı teoremi, bir çevre açının ölçüsünü, aynı yayı olusturan merkezi açının ölçüsü ile iliskilendirir.

Çevre açı teoremi, Öklidin "Elementler" kitabının 3. kitabında Önerme 20 olarak görünür.

                                     

1.1. Teorem Açıklama

Çevre açı teoremi, bir çember içine çizilmis bir θ {\displaystyle \theta } açısının, çember üzerindeki aynı yaya karsılık gelen veya aynı yayı gören merkezi açı 2 θ {\displaystyle 2\theta } nın yarısı olduğunu belirtir. Bu nedenle, tepesi çember üzerinde farklı konumlara tasındığında açı değismez.

                                     

1.2. Teorem Bir kirisin çap olduğu çevre açılar

Sekilde görüldüğü gibi O {\displaystyle O} bir çemberin merkezi olsun. Çember üzerinde iki nokta seçelim ve bunlara V {\displaystyle V} ve A {\displaystyle A} diyelim. V O {\displaystyle VO} doğrusunu çizelim ve O {\displaystyle O} yu geçecek sekilde uzatalım, böylece V {\displaystyle V} noktasının çapa göre zıttı olan B {\displaystyle B} noktasında çemberle kesisir. Tepe noktası V {\displaystyle V} olan ve kenarları A {\displaystyle A} ve B {\displaystyle B} noktalarından geçen bir açı çizelim.

O A {\displaystyle OA} doğrusunu çizelim. Açı B O A {\displaystyle BOA}, bir merkez açıdır; buna θ {\displaystyle \theta } diyelim. O V {\displaystyle OV} ve O A {\displaystyle OA} çizgilerinin her ikisi de çemberin yarıçaplarıdır, bu nedenle esit uzunluklara sahiptirler. Bu nedenle, △ V O A {\displaystyle \triangle VOA} üçgeni ikizkenardır, öyle ise ∠ B V A {\displaystyle \angle BVA} açısı çevre açı ve ∠ V A O {\displaystyle \angle VAO} açısı esittir; her birini ψ {\displaystyle \psi } olarak gösterelim.

∠ B O A {\displaystyle \angle BOA} ve ∠ A O V {\displaystyle \angle AOV} açıları bütünlerdir. O {\displaystyle O} dan geçen V B {\displaystyle VB} çizgisi düz bir doğru olana kadar toplamları 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ye kadar artar. Bu nedenle, ∠ A O V {\displaystyle \angle AOV} açısının ölçüsü olarak 180 ∘ − θ {\displaystyle 180^{\circ }-\theta } alınabilir.

Bir üçgenin üç açısının toplamının 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} olduğu ve △ V O A {\displaystyle \triangle VOA} üçgeninin üç açısının:

açı 1 = 180 ∘ − θ {\displaystyle {\text{açı}}_{1}=180^{\circ }-\theta } açı 2 = ψ {\displaystyle {\text{açı}}_{2}=\psi } açı 3 = ψ {\displaystyle {\text{açı}}_{3}=\psi }.

Bu nedenle,

2 ψ + 180 ∘ − θ = 180 ∘. {\displaystyle 2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.}

Her iki taraftan 180° çıkarırsak,

2 ψ = θ, {\displaystyle 2\psi =\theta,}

burada θ {\displaystyle \theta }, A B {\displaystyle AB} yayını gören merkez açı ve ψ {\displaystyle \psi }, A B {\displaystyle AB} yayını olusturan çevre açıdır.

                                     

1.3. Teorem Çemberin merkezi, açının içinde kalan çevre açılar

Merkezi O {\displaystyle O} noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta V {\displaystyle V}, C {\displaystyle C} ve D {\displaystyle D} alalım. V C {\displaystyle VC} ve V D {\displaystyle VD} doğrularını çizelim: ∠ D V C {\displaystyle \angle DVC} açısı, bir çevre açıdır. Simdi V O {\displaystyle VO} doğrusunu çizelim ve onu E {\displaystyle E} noktasında çemberle kesisecek sekilde O {\displaystyle O} noktasını geçecek sekilde uzatalım. ∠ D V C {\displaystyle \angle DVC} açısı, çember üzerindeki D C {\displaystyle DC} yayını görür.

Bu yayın, içinde E {\displaystyle E} noktasını içerdiğini varsayalım. E {\displaystyle E} noktası, V {\displaystyle V} noktasının çapa göre karsısıdır. ∠ D V E {\displaystyle \angle DVE} ve ∠ E V C {\displaystyle \angle EVC} açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

∠ D V C = ∠ D V E + ∠ E V C. {\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}

o zaman,

ψ 0 = ∠ D V C, {\displaystyle \psi _{0}=\angle DVC,} ψ 1 = ∠ D V E, {\displaystyle \psi _{1}=\angle DVE,} ψ 2 = ∠ E V C, {\displaystyle \psi _{2}=\angle EVC,}

Böylece

ψ 0 = ψ 1 + ψ 2. 1 {\displaystyle \psi _{0}=\psi _{1}+\psi _{2}.\\qquad 1}

O C {\displaystyle OC} ve O D {\displaystyle OD} doğrularını çizelim. ∠ D O E {\displaystyle \angle DOE} ve ∠ E O C {\displaystyle \angle EOC} açıları gibi ∠ D O C {\displaystyle \angle DOC} açısı da merkezi bir açıdır ve

∠ D O C = ∠ D O E + ∠ E O C. {\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.} θ 0 = ∠ D O C, {\displaystyle \theta _{0}=\angle DOC,} θ 1 = ∠ D O E, {\displaystyle \theta _{1}=\angle DOE,} θ 2 = ∠ E O C, {\displaystyle \theta _{2}=\angle EOC,}

olsun, böylece

θ 0 = θ 1 + θ 2. 2 {\displaystyle \theta _{0}=\theta _{1}+\theta _{2}.\\qquad 2}

Birinci bölümden biliyoruz ki θ 1 = 2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}} ve θ 2 = 2 ψ 2 {\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}} dir. Bu sonuçların denklem 2 ile birlestirilmesi asağıdaki sonucu verir:

θ 0 = 2 ψ 1 + 2 ψ 2 = 2 ψ 1 + ψ 2 {\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{1}+2\psi _{2}=2\psi _{1}+\psi _{2}}

bu nedenle, denklem 1den asağıdaki sonuç elde edilir:

θ 0 = 2 ψ 0. {\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}


                                     

1.4. Teorem Çemberin merkezi, açının dısında kalan çevre açılar

Önceki durum, çevre açının ölçüsünün, bu ispatın ilk bölümünde tartısıldığı gibi iki çevre açı arasındaki fark olduğu durumu kapsayacak sekilde genisletilebilir.

Merkezi O {\displaystyle O} noktası olan bir çember verildiğinde, çember üzerinde üç nokta V {\displaystyle V}, C {\displaystyle C} ve D {\displaystyle D} seçilsin. V C {\displaystyle VC} ve V D {\displaystyle VD} doğrularını çizelim: ∠ D V C {\displaystyle \angle DVC} açısı, bir çevre açıdır. Simdi V O {\displaystyle VO} doğrusunu çizelim ve E {\displaystyle E} noktasında çemberle kesisecek ve O {\displaystyle O} noktasını geçecek sekilde uzatalım. ∠ D V C {\displaystyle \angle DVC} açısı, çember üzerindeki D C {\displaystyle DC} yayını görür.

Bu yayın, içinde E {\displaystyle E} noktasını içermediğini varsayalım. E {\displaystyle E} noktası, V {\displaystyle V} noktasının çapa göre zıttıdır. ∠ E V D {\displaystyle \angle EVD} ve ∠ E V C {\displaystyle \angle EVC} açıları da çevre açılardır, ancak bu açıların her ikisi de çemberin merkezinden geçen bir kenara sahiptir, bu nedenle yukarıdaki Bölüm 1deki teorem bunlara uygulanabilir.

Bu nedenle,

∠ D V C = ∠ E V C − ∠ E V D {\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}.

o zaman,

ψ 0 = ∠ D V C, {\displaystyle \psi _{0}=\angle DVC,} ψ 1 = ∠ E V D, {\displaystyle \psi _{1}=\angle EVD,} ψ 2 = ∠ E V C, {\displaystyle \psi _{2}=\angle EVC,}

olsun, böylece

ψ 0 = ψ 2 − ψ 1. 3 {\displaystyle \psi _{0}=\psi _{2}-\psi _{1}.\\qquad 3}

O C {\displaystyle OC} ve O D {\displaystyle OD} doğrularını çizelim. ∠ E O D {\displaystyle \angle EOD} ve ∠ E O C {\displaystyle \angle EOC} açıları gibi ∠ D O C {\displaystyle \angle DOC} açısı da merkezi bir açıdır ve

∠ D O C = ∠ E O C − ∠ E O D. {\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD.} θ 0 = ∠ D O C, {\displaystyle \theta _{0}=\angle DOC,} θ 1 = ∠ E O D, {\displaystyle \theta _{1}=\angle EOD,} θ 2 = ∠ E O C, {\displaystyle \theta _{2}=\angle EOC,}

olsun, böylece

θ 0 = θ 2 − θ 1. 4 {\displaystyle \theta _{0}=\theta _{2}-\theta _{1}.\\qquad 4}

Birinci bölümden biliyoruz ki θ 1 = 2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}} θ 1 = 2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{1}=2\psi _{1}} ve su θ 2 = 2 ψ 2 {\displaystyle \theta _{2}=2\psi _{2}}. Bu sonuçların denklem 4 ile birlestirilmesi,

θ 0 = 2 ψ 2 − 2 ψ 1 {\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{2}-2\psi _{1}}

bu nedenle, denklem 3 ile asağıdaki ifadeye ulasılır:

θ 0 = 2 ψ 0. {\displaystyle \theta _{0}=2\psi _{0}.}
                                     

1.5. Teorem Sonuç

Benzer bir argümana göre, bir kiris ile onun kesisme noktalarından birinde teğet doğrusu arasındaki açı, kirisin kapsadığı merkezi açının yarısına esittir. Ayrıca bkz. Çemberlere teğet doğrular.

                                     

2. Uygulamalar

Çevre açı teoremi, düzlemin temel Öklid geometrisinin birçok ispatında kullanılır. Teoremin özel bir durumu, bir çapın kapsadığı açının her zaman 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }}, yani bir dik açı olduğunu belirten Thales teoremidir. Teoremin bir sonucu olarak, kirisler dörtgeninin zıt açılarının toplamı 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} dir ve tersine, bunun doğru olduğu herhangi bir dörtgen bir çember içerisine çizilebilir. Baska bir örnek olarak, çevre açı teoremi, bir çembere göre bir noktanın kuvveti ile ilgili birkaç teorem için temel olusturur. Dahası, iki kiris bir çember içinde kesistiğinde, parçalarının uzunluklarının çarpımlarının esit olduğunu kanıtlamaya izin verir.

                                     

3. Elipsler, hiperboller ve paraboller için çevre açı teoremleri

Çevre açı teoremleri elipsler, hiperboller ve paraboller için de mevcuttur. Temel farklar, bir açının ölçümleridir. Bir açı, bir çift kesisen çizgi olarak kabul edilir.

  • Parabol
  • Elips
  • Hiperbol
                                     

4. Kaynakça

  • Moise, Edwin E. 1974. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint 2. bas. Reading: Addison-Wesley. ss. 192-197. ISBN 0-201-04793-4.
  • Gellert W., Küstner H., Hellwich M., Kästner H. 1977. The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics. New York: Van Nostrand Reinhold. s. 172. ISBN 0-442-22646-2.
  • Ogilvy, C. S. 1990. Excursions in Geometry. Dover. ss. 17-23. ISBN 0-486-26530-7.
                                     

5. Dıs bağlantılar

  • "Munching on Inscribed Angles". cut-the-knot.org. 15 Nisan 2003 tarihinde kaynağından arsivlendi.
  • Eric W. Weisstein, Inscribed Angle MathWorld
  • "Arc Peripheral inscribed Angle". 30 Ekim 2006 tarihinde kaynağından arsivlendi. etkilesimli animasyon ile
  • "Arc Central Angle". 30 Ekim 2006 tarihinde kaynağından arsivlendi. etkilesimli animasyon ile
  • "Arc Central Angle Theorem". 30 Ekim 2006 tarihinde kaynağından arsivlendi. etkilesimli animasyon ile
  • "Inscribed angle theorem". bookofproofs.org. 11 Temmuz 2020 tarihinde kaynağından arsivlendi.
  • "Relationship Between Central Angle and Inscribed Angle". 11 Mayıs 2009 tarihinde kaynağından arsivlendi.
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →